n^7-n=7m

京大の過去問より、以下ずっと整数のターン。
これが(1)とは...


ま、本来はだね。

f(n)=(nを7で割ったときの余り)
とすると

f(n^7)=f(n)
であることを証明せよ

というのが問題。
それを関数的に考えるとn^7-n=7mなら成り立つということなのです。

...わかるよね？

f(n^7)=f(n)ということは
n^7=7x+z, n=7y+z
つうことだからn^7-n=7(x-y)=7mということだね。細かい条件は書かなくとも分かるかと思います。

まぁこの言い換えを自分がその場で思い付くか疑問だし、このやり方だと(2)がちと面倒だが。
とにかくこれを証明すれば題意的にはおｋ(´・ω・`)


(2)の奇抜さで有名な問題だしな。
僕は実際にやったことなかったので結構楽しめました。

でもこんなの勘ですよね。あとはチート因数分解。
むしろn^7-nを7の倍数だと証明しろってだけで面白いです。整数ファンとしてはこういう単問にしてほしいくらい。


数学のブログとかありそうだな。
初等数学の整数問題だけ扱ってるとこ、ないかなあ。